海爾滾筒洗衣機出現 E2 故障的原因及解決方法如下：

1. 排水故障：如果是某些型號（如 BS68、D09、BS58 等），可能是排水故障導致，原因包括過濾器堵塞、排水泵故障等。可以清洗過濾器并檢查排水泵是否正常。過濾器可自行清理，若排水泵有問題，建議請專業人士檢查。
2. 進水超時：當進水時間過長時，洗衣機會顯示 E2 故障。可能是進水閥關閉或水壓太低導致水流過小。解決方法是查看進水閥是否打開，再檢查水壓能否讓洗衣機正常進水。
3. 門蓋相關問題：E2 故障代碼也可能表示洗衣機的門蓋沒有正確關閉或是門開關損壞。首先檢查門蓋是否完全關閉，若已完全關閉但仍顯示 E2 故障代碼，則可能是門開關損壞，需找專業維修人員檢查和維修門開關，必要時更換門開關。
4. 其他情況：如果是水位傳感器故障、水位傳感器線路故障、皮帶松動、電機運轉不暢、洗滌電機過載、負載不平衡等原因引起的，也可能會顯示 E2 故障代碼。可以聯系專業維修人員進行進一步的檢修和維護操作。

此外，由于洗衣機在使用中可能會因各種原因導致一些故障代碼，建議保留洗衣機的說明書，以便查看各類代碼對應的故障分析和簡單處理方法。若說明書丟失，也可以到海爾官網根據洗衣機的型號下載使用說明書。
如果以上方法都無法解決問題，建議聯系海爾洗衣機的售后服務部門或專業的維修人員進行檢修和處理。在處理故障時，務必注意安全，避免因不當操作造成其他損害。